Cập nhật Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán mới nhất

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hay khoảng chính là giá trị đó phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Có những hàm số không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất dù cho có cận trên và cận dưới trên đoạn hay khoảng mà chúng ta đang xét.

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất | Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

Bạn Đang Xem: Cập nhật Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán mới nhất

Hàm số y = f(x) và xác định trên D:

Kí hiệu: Max f(x)= M

Kí hiệu: Min f(x)=m

Ta có sơ đồ sau:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

2.1. Trên miền D

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập D xác định ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào kết quả bảng biến thiên của hàm số để đưa ra kết luận cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

$y=x^3-3x^2-9x+5$

0967 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 2

Ví dụ 2: Toán 12 tìm trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số: $y=fracx^2+2x+3x-1$ 

Phương pháp giải:

b180 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 3

2.2. Trên một đoạn

Theo định lý ta biết rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Vậy quy tắc và phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a, b là:

713c toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 4

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $y=-frac13x^3+x^2=2x+1$ trên đoạn $left [ -1,0 right ]$

Giải: 

1bf9 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 5

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số $y=frac2x+1x-2$ trên đoạn $left [ -frac12;1right ]$

Giải:

0e81 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 6

3. Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số và phương pháp giải

3.1. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1. Tìm tập xác định 

  • Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định

  • Bước 3. Lập bảng biến thiên

  • Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể dùng máy tính cầm tay để giải các bước như sau:

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính về chế độ Rad.

Ví dụ: Cho hàm số y= f(X)= $fracx^2-x+1x^2+x+z$

Tập xác định D=ℝ

Ta có y= f(X)= $1-frac2xx^2+x+1$

$Rightarrow y’=frac2(x^2+x+1)-2x(2x+1)(x^2+x+1)^2$
$=frac2x^2-x(x^2+x+1)^2$

Do đó y’= 0 $Leftrightarrow 2x^2-2=0 Leftrightarrow x=pm 1$

Bảng biến thiên

39b2 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 7

Qua bảng biến thiên, ta thấy: 

$beginmatrixmaxf(x)\ mathbbRendmatrix = frac4730$ tại x=1

3.2. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

0c43 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 8

  • Bước 1: Tính f’(x)

  • Bước 2: Tìm những điểm xi ∈ (a;b) mà tại điểm đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định

  • Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)

  • Bước 4: Tìm số có giá trị nhỏ nhất m và số có giá trị lớn nhất M trong các số trên.

Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên $left [ a,b right ]$.

Chú ý:

4c4f toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 9

– Khi hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

$left{beginmatrix
maxf(x) =f(b)& \ minf(x)=f(a)endmatrixright.$

– Khi hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

$left{beginmatrix
maxf(x) =f(a)& \ minf(x)=f(b)endmatrixright.$

Ví dụ: Cho hàm số $fracx+2x-2$. Giá trị của $left ( beginmatrixmin y\left [ 2;3 right ] endmatrix right )^2+left (beginmatrixmax y\left [ 2;3 right ]endmatrix right )^2$

bằng

Ta có $y’=frac-3x-1<0 forall xneq 1$; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞).

Xem Thêm : Cách kiểm tra tần số quét màn hình trên điện thoại Android

⇒ Hàm số trên nghịch biến [2; 3]

Do đó $beginmatrixmin y\ left [ 2;3 right ]endmatrix=y(3)=frac52$

$beginmatrixmax y\ left [ 2;3 right ]endmatrix=y(2)=4$ 

Vậy 4ab9 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 10 

3.3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu t= sinx hoặc t= cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu t= |cosx| hoặc $t=cos^2x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu t=|sinx| hoặc $t=sin^2x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx = $sqrt2sin(xpm fracpi 4)Rightarrow -sqrt2leqslant tleqslant sqrt2$

  • Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ

  • Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ

  • Kết luận

Ví dụ: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2cos2x + 2sinx là bao nhiêu?

Ta có y= f(x) = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = $frac14$ ∈ (-1; 1)

Vì $left{beginmatrixy(-1)=-4\y(1)=0 \y(frac14)=frac94endmatrixright.$ nên M = 94; m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc biến thiên

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình:

a44f toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 11

Giải

cb36 toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 12

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] 

50ac toan 12 gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 13

Giải

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3; 

Vậy M – m = 5

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh bổ sung thêm kiến thức cũng như các lý thuyết về toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong quá trình ôn thi THPT. Các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn để tham gia những khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!

Bạn đang đọc bài viết từ chuyên mục Edu tại website https://longchien.vn.

Nguồn: https://longchien.vn
Danh mục: Thủ Thuật

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *